DESIGUALDADES CUADRATICAS

Una inecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c > 0, o ax2 + bx + c < 0, o tambien si se manejan las desigualdades mayor igual o menor igual, donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 < 0; x2 - x - 12 > 0; 2x2 - 3x - 4  0


La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la inecuación. El método apropiado para resolver una inecuación cuadrática es el mismo para resolver cualquier inecuación de grado 2 o superior: llevar una lado de la inecuación a cero, teniendo en cuenta que el coeficiente principal debe ser positivo; después de ello se factoriza el polinomio y se observa el comportamiento de los signos, restringiendo la solución al o los intervalos o valores que cumplen la inecuación.



SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN CUADRÁTICA

♣ -12>x-x2 => x2-x-12>0 => (x-4)(x+3)>0 Un producto es POSITIVO si los factores son positivos o si los dos son negativos, observamos entonces que:

x-4>0 SI x>4 Y

x+3>0 SI x>-3

Se tiene entonces que el polinomio es POSITIVO en el intervalo . Observemos también que:

x-4<0 SI x<4 Y

x+3<0 SI x<-3

Se tiene entonces que el polinomio es POSITIVO también en el intervalo . Por tanto, la solución de la ecuación -12>x-x2 es:

Un polinomio cuadrático puede tener raíces imaginarias; las raíces de 2x2-3x+4 se identifican imaginarias porque el radicando es negativo:

De esta manera, si una inecuación se reduce a un polinomio cuadrático que tiene raíces imaginarias, se tiene que el polinomio siempre será positivo; es decir que

2x2-3x+4>0 todo valor real cumple la inecuación, la solución es el conjunto de los números reales.

2x2-3x+40 todo valor real cumple la inecuación, la solución es el conjunto de los números reales.

2x2-3x+4<0 no existe valor real que cumpla la inecuación. La solución es vacía.

2x2-3x+40 no existe valor real que cumpla la inecuación. La solución es vacía.